Límites

 

TIA: Límites

NOMBRES Y APELLIDOS COMPLETOS:

Andrés Felipe rivera

Luisa Fernanda Villarreal Betanco

Cristian David Palacio Palacio

En esta TIA usted deberá dar cuenta del estudio y comprensión de lo estudiado en los Recursos de la “Actividad de EAE 2: Estableciendo la continuidad de una función”, así:

 1. Luego de haber leído detenidamente, analizado y realizado las actividades interactivas del libro digital interactivo denominado Cálculo Diferencial Interactivo desde la página 48 hasta la 71 construya un documento en que de cuenta de la definición y ejemplos de límite de una función, sucesiones, límite de una sucesión, límites unilaterales, cálculo de límites no indeterminados y límites de funciones trigonométricas.

LIMITE DE UNA FUNCIÓN:

Es un concepto fundamental del análisis matemático aplicado a las funciones. En particular, el concepto aplica en análisis real al estudio de límites, continuidad y derivabilidad de las funciones reales. Intuitivamente, el hecho que una función f alcance un límite L en un punto c significa que, tomando puntos suficientemente próximos a c, el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee. La cercanía de los valores de f y L no depende del valor que adquiere f en dicho punto c.

 

SUCESIONES:

Una sucesión es una función que asocia a cada entero positivo un número real. Una sucesión se puede expresar de varias maneras

 

a) Describiendo en palabras cómo obtener cada uno de sus términos.

b) {a_n }, es decir, escribiendo entre llaves la expresión de su término general.

c) a₁, a₂, a₃,... , es decir, escribiendo los primeros términos hasta que sea evidente para el lector cuál es la regla para obtener los siguientes.

 

Límite De Una Sucesión:

Se dice que una sucesión de números reales { a_n } converge a L si para cualquier número positivo ε, los términos an de la sucesión distan de L menos que ε, para n suficientemente grande. La sucesión: 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001, ... converge a 2 y la sucesión {1/n} converge a cero. Éstos son dos ejemplos de sucesiones que convergen.

 

La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... no converge. Tampoco converge la sucesión {3n}. Éstos últimos son dos ejemplos de sucesiones que no convergen. Cuando una sucesión {an} converge a un número L, se dice que L es el límite de {an} y se escribe:

Límites Unilaterales:

Identificar el valor de límites unilaterales a partir de la observación de la gráfica de una función y, obtener el valor del límite a partir de la observación de la gráfica.

 

El límite de una función f(x) en un punto x₀ es el valor al que se acercan los valores de la función cuando la variable x se acerca a x0. Las funciones no siempre tienen límite en cualquier punto

 

Calculo De Límites No Indeterminados:

 

Vamos a obtener el valor del límite de una función f(x) cuando x tiende a un número a y no presenta indeterminación.

 

Nota: Debido a que es más natural el concepto de continuidad que el concepto de límite, es conveniente estudiar primero las lecciones de continuidad y después las de límite. Si una función es continua en un número a, entonces el valor del límite de ella, cuando x tiende a a, es f(a); es decir.

 

La gran mayoría de las funciones que utilizamos cotidianamente son continuas en todos los números donde están definidas.

 

● Las funciones polinomiales, f(x)=cnxn + cn-1xn-1 + ... + c1x + c0, son continuas en todos los reales.

 

● Las funciones racionales, es decir, los cocientes de funciones polinomiales

 

son continuas en todos los números a para los cuales g(a)≠0.

 

● Las funciones trigonométricas, seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, son continuas en todos los números donde están definidas.

 

2. Luego de haber leído, analizado y realizado las actividades interactivas del OIA denominado Continuidad de una función en un punto, Defina las condiciones necesarias para que una función sea contínua en un punto establecido y transcriba 2 de los ejemplos que allí se presentan.

 

Una función f es continua en un punto a, si para valores x muy cercanos a (a), se tiene que f(x) es casi igual a f(a). Además, una función f es continua en un intervalo si f es continua en cada punto del intervalo.

3. Luego de haber leído detenidamente, analizado y realizado las actividades interactivas del libro digital interactivo denominado Cálculo Diferencial Interactivo desde la página 72 hasta la 81 construya un documento en que de cuenta de la definición y ejemplos de límites al infinito, límites al infinito con indeterminación, discontinuidad removible y asíntotas.

Límites al infinito:

El límite de una función f(x) al infinito es el número al que se acercan los valores de la función cuando la variable x tiende a +∞ o a -∞. Las funciones no siempre tienen límite al infinito.

Límites al infinito con indeterminación:

En el ámbito de las Ciencias Sociales, es muy habitual que haya que calcular el límite de una función racional cuando x tiende a infinito. Basta que queramos saber el comportamiento de una población, del dinero invertido en un banco, de la evolución de un negocio, de la evolución de un mercado de valores, ...., a largo plazo. Muchas de estas funciones responden a funciones racionales, o sea, a dividir dos polinomios, y como ya sabes del punto 2, el resultado del límite cuando x tiende a infinito de un polinomio es infinito. Luego en este caso tendríamos que dividir infinito entre infinito. Tenemos ahora entonces la indeterminación ∞/∞

TIA. Taller: Límites indeterminados y al infinito

Escriba en su cuaderno de apuntes o en hojas sueltas, los procedimientos solicitados y escanéelos o tómales fotos para que pueda adjuntarlos como evidencia de su trabajo.

¿cuáles son los aportes que los límites le brinda como persona y como futuro profesional?  límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa  sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los  conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.