Transformaciones lineales

 ¿Qué es una transformación lineal?

Enprimer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función tiene su dominio y su condominio, con lapparticularidad de que estos soneespacio a vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. Osea una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W.

Una transformación Lineal, es una función de la forma
T : R que satisface n → R ^m

las siguientes propiedades
 1. T(u + v) = Tu + Tv, para todo u, v.
2. T(cu) = cT(u) para todo vector u y todo escalar c

La transformación T manda combinaciones lineales en combinaciones lineales, es decir

T(c1v1 + c2v2 + ....... + ckvk) = c1T(v1) + c2T(v2) + .... + ckT(vk). 

- Se escribe T: V →W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen
- Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcional f (x), que se lee “f de x

¿Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal? 
Para que exista una transformación Lineal, la función debe cumplir 2 propiedades, tal como se expresó en su definición

1. T(u + v) = Tu + Tv, para todo u, v.
2. T(cu) = cT(u) para todo vector u y todo escalar c

¿Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales?

Teoremas o propiedades de las transformaciones lineales

Teorema 1

Sea T : V → W una transformación lineal, entonces para todos los vectores u, v, v1.v2...vn en V y todos los escalares α1, α2, ... αn :

- T(0) = 0 ( el 0 de la izquierda es el vector cero en V, mientras que el 0 de la derecha es el vector cero en W)

- T(u − v) = Tu − Tv

- T(α1v1 + α2v2 + ..... + αnvn) = α1Tv1 + α2Tv2 + ... + αnTvn

Demostración

- T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0). Así 0 = T(0) − T(0) = T(0) + T(0)
 − T(0) = T(0) - T(u − v) = T[u + (− 1)v] = Tu + T[(− 1)v] = Tu + (− 1)Tv = Tu − Tv
 - Para n = 2 se tiene T(a1v1 + a2v2) = T(a1v1) + T(a2v2) = a1Tv1 + a2Tv2

Teorema 2

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, .......vn} sean w1,w2, ...wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, ......n. Entonces para cualquier vector v ∈ V , T1v = T2v; es decir, T1 = T2

Demostración

Como B es una base para V , existe un conjunto único de escalares a1, a2, . . . , an tales que v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn
T1v = T1(a1v1 + a2v2 + . . . + anvn) = a1T1v1 + a2T1v2 + . . . + anTnv = a1w1 + a2w2 + . . . + anwn
T2v = T2(a1v1 + a2v2 + . . . + anvn) = a1T2v1 + a2T2v2 + . . . + anTnvn = a1w1 + a2w2 + . . . + anwn
Por lo tanto, T1v = T2v

Teorema 3

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . , vn}. Sea W un espacio vectorial que contiene los vectores w1, w2, . . . , wn.
Entonces existe una transformación lineal única T : V → W tal que Tvi = wi para i = 1, 2, . . . , n.

Demostración

- Tvi = wi
 - Si v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn, entonces
- Tv = a1w1 + a2w2 + . . . + anwn
Si u = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn, y q = b1v1 + b2v2 + . . . + bnvn, entonces :
T( u + q) = T[ ( a1 + b1) v1 + ( a2 + b2) v2 + . . . + ( an + bn) vn]
= ( a1 + b1)w1 + ( a2 + b2)w2 + . . . + ( an + bn)wn
= ( a1w1 + a2w2 + . . . + anwn) + ( b1w1 + b2w2 + . . . + bnwn)
= Tu + Tq

Teorema 4 

Si T : V → W es una transformación lineal, entonces
- nu T es un subespacio de V
- im T es un subespacio de W

Demostración

 - Sean u y v en nu T; entonces T(u + v) = Tu + Tv = 0 + 0 = 0 y T(au) = aTx = a0 = 0 de forma que u + v y au están en nu T.
- Sean w y x en im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vectores u y v en V Esto significa que T(u + v) = Tu + Tv = w + x y T(au) = aTu = aw Por lo tanto, w + x y aw están en im T.

Teorema 5 

Sea T : R R una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m x n, AT tal que n → m Tx = ATx para toda x ∈ R n

Ejemplo de una transformación lineal.

¿Cómo probar esa transformación lineal?

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P_1, P_2, P₃ P₄ y a los materiales como R₁, R₂, R₃. La tabla muestra el número de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar una unidad de cada producto:

 

MATERIALES	PRODUCTOS
	P1	P2	P3	P4
R1	2	1	3	4
R2	4	2	2	1
R3	3	3	1	2

 

Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿cuántas unidades de cada material se necesitan? Sean P₁, P₂, P₃, P₄ el número de artículos fabricados de los cuatro productos y sean R₁, R₂, R₃ el número de unidades necesario de los tres materiales, entonces se define así:

                                   

 

Por ejemplo, supongamos que  . ¿Cuántas unidades de R₁ se necesitan para producir estos números de unidades de los cuatro productos? De la tabla se tiene que:

R = P₁ • 2 + P₂ • 2 + P₃ • 3 + P₄ • 4, o sea

 

R₁ = 10 • 2 + 30 • 2 + 20 • 3 + 50 • 4 = 310 unidades.

 

R₂ = 10 • 4 + 30 • 2 + 20 • 2 + 50 • 1 = 190 unidades.

 

R₃ = 10 • 3 + 30 • 3 + 20 • 1 + 50 • 2 = 240 unidades.