TIA 2: Implementación y manipulación de bases de datos

 IMPORTANCIA DEL USO DE SQL PARA LA CREACIÓN Y MANIPULACIÓN DE DATOS

 

BigData, además de ser el centro de la informática actual, es también el eje de las demás actividades del ser humano en el presente, pues de los datos y del manejo que se le dé a los mismos dependen la toma de decisiones y el cambio del mundo.

 

SQL es una herramienta que si bien permite el manejo sistemático de los datos, es capaz de almacenar y manipular grandes cantidades de información, a la vez que puede soportar varios lenguajes de programación, por lo cual es una excelente opción para la POO.

 

Además de ser accesible en cuanto a temas presupuestales, su interfaz gráfica está evolucionando para que más usuarios puedan hacer uso de esta herramienta.

 

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Situación de una Agencia de Arrendamientos

Se requiere crear un modelo entidad relación que cuenta con las siguientes características:

 

a. Se tiene un conjunto de sedes que pertenecen a la agencia de arrendamiento en cada una hay un administrador responsable.

 

b. Cuenta con 5000 propiedades para cada propiedad que se arrienda se debe conocer su ubicación y sus características principales.

 

c. Cada propiedad tiene un dueño.

 

d. Para los que toman el arriendo de la propiedad que serían los clientes deben presentar certificados de trabajo.

 

e. Para que un cliente pueda tomar en arriendo una propiedad necesita proporciona mínimo un fiador que cuente con uno o más bienes para que pueda respaldar el contrato de alquiler o arriendo.

 

f. Una propiedad varía su precio en cada nuevo contrato que realiza.

 

g.También se manejan los pagos que se han generado por cada contrato de arrendamiento de una determinada propiedad.

 

1. La creación de la base de datos, el script con comandos DDL del diseño entregado en la unidad 1, este ya debe estar corregido en la realimentación que le realizó el docente.

 

Crear database arrendamientosVEN

USE arrendamientosVyN

GO

SET ANSI_NULLS ON

GO

SET QUOTED_IDENTIFIER ON

GO

SET ANSI_PADDING ON

GO

Crear Tabla [dbo].[TAdministradores](

       [idAdministrador] [int] NOT NULL,

       [nombreAdmin] [char](30) NOT NULL,

       [apellidoAdmin] [char](30) NOT NULL,

       [telAdmin] [char](10) NULL,

 CONSTRAINT [PK_TAdministradores] PRIMARY KEY CLUSTERED

(

       [idAdministrador] ASC

)WITH (PAD_INDEX = OFF, STATISTICS_NORECOMPUTE = OFF, IGNORE_DUP_KEY = OFF, ALLOW_ROW_LOCKS = ON, ALLOW_PAGE_LOCKS = ON) ON [PRIMARY]

) ON [PRIMARY]

GO

SET ANSI_PADDING OFF

GO

SET ANSI_NULLS ON

GO

SET QUOTED_IDENTIFIER ON

GO

SET ANSI_PADDING ON

GO

Crear Tabla [dbo].[TBienesFiador](

       [idBien] [int] NOT NULL,

       [nombreBien] [char](30) NOT NULL,

       [tipoBien] [char](30) NOT NULL,

       [direcBien] [char](30) NOT NULL,

       [idFiador] [int] NOT NULL,

 CONSTRAINT [PK_TBienesFiador] PRIMARY KEY CLUSTERED

(

       [idBien] ASC

)WITH (PAD_INDEX = OFF, STATISTICS_NORECOMPUTE = OFF, IGNORE_DUP_KEY = OFF, ALLOW_ROW_LOCKS = ON, ALLOW_PAGE_LOCKS = ON) ON [PRIMARY]

) ON [PRIMARY]

GO

SET ANSI_PADDING OFF

GO

SET ANSI_NULLS ON

GO

SET QUOTED_IDENTIFIER ON

GO

SET ANSI_PADDING ON

GO

Crear Tabla [dbo].[TClientes](

       [idCliente] [int] NOT NULL,

       [nombreCliente] [char](30) NOT NULL,

       [apellidoCliente] [char](30) NOT NULL,

       [ocupacionCliente] [char](30) NULL,

       [telCliente] [int] NOT NULL,

 CONSTRAINT [PK_TClientes] PRIMARY KEY CLUSTERED

(

       [idCliente] ASC

)WITH (PAD_INDEX = OFF, STATISTICS_NORECOMPUTE = OFF, IGNORE_DUP_KEY = OFF, ALLOW_ROW_LOCKS = ON, ALLOW_PAGE_LOCKS = ON) ON [PRIMARY]

) ON [PRIMARY]

GO

SET ANSI_PADDING OFF

GO

SET ANSI_NULLS ON

GO

SET QUOTED_IDENTIFIER ON

GO

SET ANSI_PADDING ON

GO

Crear Tabla [dbo].[TContrato](

       [idContrato] [int] NOT NULL,

       [tipoContrato] [char](10) NOT NULL,

       [idCliente] [int] NOT NULL,

       [idPropiedad] [int] NOT NULL,

       [certificadoLaboral] [char](8) NOT NULL,

       [valorContrato] [float] NOT NULL,

       [fechaInicio] [date] NOT NULL,

       [fechaTerminacion] [date] NOT NULL,

       [idFiador] [int] NOT NULL,

 CONSTRAINT [PK_TContrato] PRIMARY KEY CLUSTERED

(

       [idContrato] ASC

)WITH (PAD_INDEX = OFF, STATISTICS_NORECOMPUTE = OFF, IGNORE_DUP_KEY = OFF, ALLOW_ROW_LOCKS = ON, ALLOW_PAGE_LOCKS = ON) ON [PRIMARY]

) ON [PRIMARY]

GO

SET ANSI_PADDING OFF

GO

SET ANSI_NULLS ON

GO

SET QUOTED_IDENTIFIER ON

GO

SET ANSI_PADDING ON

GO

Crear Tabla [dbo].[TFiadores](

       [idFiador] [int] NOT NULL,

       [nombreFiador] [char](30) NOT NULL,

       [apellidoFiador] [char](30) NOT NULL,

       [ocupacFiador] [char](30) NULL,

       [direccionFiador] [char](30) NOT NULL,

       [telFiador] [char](10) NULL,

 CONSTRAINT [PK_TFiadores] PRIMARY KEY CLUSTERED

(

       [idFiador] ASC

)WITH (PAD_INDEX = OFF, STATISTICS_NORECOMPUTE = OFF, IGNORE_DUP_KEY = OFF, ALLOW_ROW_LOCKS = ON, ALLOW_PAGE_LOCKS = ON) ON [PRIMARY]

) ON [PRIMARY]

GO

SET ANSI_PADDING OFF

GO

/****** Object:  Table [dbo].[TPagos]   Script Date: 20/11/2018 5:13:14 p. m. ******/

SET ANSI_NULLS ON

GO

SET QUOTED_IDENTIFIER ON

GO

Crear Tabla [dbo].[TPagos](

       [idPago] [int] NOT NULL,

       [idContrato] [int] NOT NULL,

       [fechaPago] [date] NOT NULL,

 CONSTRAINT [PK_TPagos] PRIMARY KEY CLUSTERED

(

       [idPago] ASC

)WITH (PAD_INDEX = OFF, STATISTICS_NORECOMPUTE = OFF, IGNORE_DUP_KEY = OFF, ALLOW_ROW_LOCKS = ON, ALLOW_PAGE_LOCKS = ON) ON [PRIMARY]

) ON [PRIMARY]

GO

SET ANSI_NULLS ON

GO

SET QUOTED_IDENTIFIER ON

GO

SET ANSI_PADDING ON

GO

Crear Tabla [dbo].[TPropiedades](

       [idPropiedad] [int] NOT NULL,

       [nombrePropiedad] [char](30) NOT NULL,

       [tipoPropiedad] [char](10) NOT NULL,

       [extensPropiedad] [int] NOT NULL,

       [direcProp] [char](30) NOT NULL,

       [idPropietario] [int] NOT NULL,

       [idSede] [int] NOT NULL,

       [cantidadHabitaciones] [int] NOT NULL,

 CONSTRAINT [PK_TPropiedades] PRIMARY KEY CLUSTERED

(

       [idPropiedad] ASC

)WITH (PAD_INDEX = OFF, STATISTICS_NORECOMPUTE = OFF, IGNORE_DUP_KEY = OFF, ALLOW_ROW_LOCKS = ON, ALLOW_PAGE_LOCKS = ON) ON [PRIMARY]

) ON [PRIMARY]

GO

SET ANSI_PADDING OFF

GO

SET ANSI_NULLS ON

GO

SET QUOTED_IDENTIFIER ON

GO

SET ANSI_PADDING ON

GO

Crear Tabla [dbo].[TPropietarios](

       [idPropietario] [int] NOT NULL,

       [nombrePropietario] [char](30) NOT NULL,

       [apellidoPropietario] [char](30) NOT NULL,

       [direcPropietario] [char](30) NOT NULL,

       [telPropietario] [char](10) NOT NULL,

 CONSTRAINT [PK_TPropietarios] PRIMARY KEY CLUSTERED

(

       [idPropietario] ASC

)WITH (PAD_INDEX = OFF, STATISTICS_NORECOMPUTE = OFF, IGNORE_DUP_KEY = OFF, ALLOW_ROW_LOCKS = ON, ALLOW_PAGE_LOCKS = ON) ON [PRIMARY]

) ON [PRIMARY]

GO

SET ANSI_PADDING OFF

GO

SET ANSI_NULLS ON

GO

SET QUOTED_IDENTIFIER ON

GO

SET ANSI_PADDING ON

GO

Crear Tabla [dbo].[TSedes](

       [idSede] [int] NOT NULL,

       [nombreSede] [char](30) NOT NULL,

       [direcSede] [char](30) NOT NULL,

       [telSede] [char](10) NOT NULL,

       [idAdministrador] [int] NOT NULL,

 CONSTRAINT [PK_TSedes] PRIMARY KEY CLUSTERED

(

       [idSede] ASC

)WITH (PAD_INDEX = OFF, STATISTICS_NORECOMPUTE = OFF, IGNORE_DUP_KEY = OFF, ALLOW_ROW_LOCKS = ON, ALLOW_PAGE_LOCKS = ON) ON [PRIMARY]

) ON [PRIMARY]

 

GO

SET ANSI_PADDING OFF

GO

ALTER TABLE [dbo].[TBienesFiador]  WITH CHECK ADD  CONSTRAINT [FK_TBienesFiador_TFiadores] FOREIGN KEY([idFiador])

REFERENCES [dbo].[TFiadores] ([idFiador])

GO

ALTER TABLE [dbo].[TBienesFiador] CHECK CONSTRAINT [FK_TBienesFiador_TFiadores]

GO

ALTER TABLE [dbo].[TContrato]  WITH CHECK ADD  CONSTRAINT [FK_TContrato_TClientes] FOREIGN KEY([idCliente])

REFERENCES [dbo].[TClientes] ([idCliente])

GO

ALTER TABLE [dbo].[TContrato] CHECK CONSTRAINT [FK_TContrato_TClientes]

GO

ALTER TABLE [dbo].[TContrato]  WITH CHECK ADD  CONSTRAINT [FK_TContrato_TFiadores] FOREIGN KEY([idFiador])

REFERENCES [dbo].[TFiadores] ([idFiador])

GO

ALTER TABLE [dbo].[TContrato] CHECK CONSTRAINT [FK_TContrato_TFiadores]

GO

ALTER TABLE [dbo].[TContrato]  WITH CHECK ADD  CONSTRAINT [FK_TContrato_TPropiedades] FOREIGN KEY([idPropiedad])

REFERENCES [dbo].[TPropiedades] ([idPropiedad])

GO

ALTER TABLE [dbo].[TContrato] CHECK CONSTRAINT [FK_TContrato_TPropiedades]

GO

ALTER TABLE [dbo].[TPagos]  WITH CHECK ADD  CONSTRAINT [FK_TPagos_TContrato] FOREIGN KEY([idContrato])

REFERENCES [dbo].[TContrato] ([idContrato])

GO

ALTER TABLE [dbo].[TPagos] CHECK CONSTRAINT [FK_TPagos_TContrato]

GO

ALTER TABLE [dbo].[TPropiedades]  WITH CHECK ADD  CONSTRAINT [FK_TPropiedades_TPropietarios1] FOREIGN KEY([idPropietario])

REFERENCES [dbo].[TPropietarios] ([idPropietario])

GO

ALTER TABLE [dbo].[TPropiedades] CHECK CONSTRAINT [FK_TPropiedades_TPropietarios1]

GO

ALTER TABLE [dbo].[TPropiedades]  WITH CHECK ADD  CONSTRAINT [FK_TPropiedades_TSedes] FOREIGN KEY([idSede])

REFERENCES [dbo].[TSedes] ([idSede])

GO

ALTER TABLE [dbo].[TPropiedades] CHECK CONSTRAINT [FK_TPropiedades_TSedes]

GO

ALTER TABLE [dbo].[TSedes]  WITH CHECK ADD  CONSTRAINT [FK_TSedes_TAdministradores1] FOREIGN KEY([idAdministrador])

REFERENCES [dbo].[TAdministradores] ([idAdministrador])

GO

ALTER TABLE [dbo].[TSedes] CHECK CONSTRAINT [FK_TSedes_TAdministradores1]

GO

2. El diagrama generado por el sistema gestor de base de datos SQL Server.

 

 

3. Los comandos DDL utilizados para insertar mínimo tres registros por tabla.

Tabla Administradores

INSERT INTO [dbo].[TAdministradores]([idAdministrador],[nombreAdmin],[apellidoAdmin],[telAdmin])

     VALUES(3333,'Vanessa','Betancur',5555555)

GO

INSERT INTO [dbo].[TAdministradores]([idAdministrador],[nombreAdmin],[apellidoAdmin],[telAdmin])

     VALUES(111111,'Camilo','Velez',4444444)

GO

INSERT INTO [dbo].[TAdministradores]([idAdministrador],[nombreAdmin],[apellidoAdmin],[telAdmin])

     VALUES(555555,'Octavio','Duque',4444444)

GO

INSERT INTO [dbo].[TAdministradores]([idAdministrador],[nombreAdmin],[apellidoAdmin],[telAdmin])

     VALUES(1015276265,'Carlos','Suarez',5555555)

Tabla sedes

INSERT INTO [dbo].[TSedes]([idSede],[nombreSede],[direcSede],[telSede],[idAdministrador])

     VALUES(1234,'extremo','cra 44',6666666,1015276265)

GO

INSERT INTO [dbo].[TSedes]([idSede],[nombreSede],[direcSede],[telSede],[idAdministrador])

     VALUES(2345,'poblado','cra 44',6666666,1015276265)

GO

INSERT INTO [dbo].[TSedes]([idSede],[nombreSede],[direcSede],[telSede],[idAdministrador])

     VALUES(4324,'centro','cra 45',5555555,3333)

GO

Tabla Propiedades

INSERT INTO [dbo].[TPropiedades]([idPropiedad],[nombrePropiedad],[tipoPropiedad],[extensPropiedad],[direcProp],[idPropietario],[idSede],[cantidadHabitaciones])

     VALUES(1,'casalinda','casa',56,'cra 5',23456,1234,2)

GO

INSERT INTO [dbo].[TPropiedades]([idPropiedad],[nombrePropiedad],[tipoPropiedad],[extensPropiedad],[direcProp],[idPropietario],[idSede],[cantidadHabitaciones])

     VALUES(2,'pradoverde','casa',68,' calle 25 #12-12’,34567,1234,4)

GO

INSERT INTO [dbo].[TPropiedades]([idPropiedad],[nombrePropiedad],[tipoPropiedad],[extensPropiedad],[direcProp],[idPropietario],[idSede],[cantidadHabitaciones])

     VALUES(3,'casabela','apto',67,'cra 56',34567,1234,1)

GO

Tabla propietarios

INSERT INTO [dbo].[TPropietarios]([idPropietario],[nombrePropietario],[apellidoPropietario],[direcPropietario],[telPropietario])

     VALUES (12345,'Cesar','Diaz','cra 56',3333333)

GO

INSERT INTO [dbo].[TPropietarios]([idPropietario],[nombrePropietario],[apellidoPropietario],[direcPropietario],[telPropietario])

     VALUES (23456,'Anibal','Ruiz','cra 67',4981293)

GO

INSERT INTO [dbo].[TPropietarios]([idPropietario],[nombrePropietario],[apellidoPropietario],[direcPropietario],[telPropietario])

     VALUES (34567,'Jorge','Perez','cra 10',8657432)

GO

 

Tabla Fiadores

INSERT INTO [dbo].[TFiadores]([idFiador],[nombreFiador],[apellidoFiador],[ocupacFiador],[direccionFiador],[telFiador])

     VALUES (9876,'Camilo','Restrepo','arriero','cra 45',7896543)

GO

INSERT INTO [dbo].[TFiadores]([idFiador],[nombreFiador],[apellidoFiador],[ocupacFiador],[direccionFiador],[telFiador])

     VALUES (8765,'Pepita','Perez','ama de casa','cra 43',4567899)

GO

INSERT INTO [dbo].[TFiadores]([idFiador],[nombreFiador],[apellidoFiador],[ocupacFiador],[direccionFiador],[telFiador])

     VALUES (5678,'Luis','Restrepo','agente','cra 46',3456789)

GO

INSERT INTO [dbo].[TFiadores]([idFiador],[nombreFiador],[apellidoFiador],[ocupacFiador],[direccionFiador],[telFiador])

     VALUES (5673,'Evelio','Salas','Policia','cra 55',2543789)

GO

Tabla Bienes Fiador

INSERT INTO [dbo].[TBienesFiador]([idBien],[nombreBien],[tipoBien],[direcBien],[idFiador])

     VALUES(1,'acuarela','casa','cra 56',5673)

GO

 

INSERT INTO [dbo].[TBienesFiador]([idBien],[nombreBien],[tipoBien],[direcBien],[idFiador])

     VALUES(2,'Polaris','apartamento','cra 65',5678)

GO

INSERT INTO [dbo].[TBienesFiador]([idBien],[nombreBien],[tipoBien],[direcBien],[idFiador])

     VALUES(4,'Acapela','mansión','cra 45',8765)

GO

Tabla Clientes

INSERT INTO [dbo].[TClientes]([idCliente],[nombreCliente],[apellidoCliente],[ocupacionCliente],[telCliente])

     VALUES (880402,'Tulio','Zuluaga','Empresario',5555555)

GO

INSERT INTO [dbo].[TClientes]([idCliente],[nombreCliente],[apellidoCliente],[ocupacionCliente],[telCliente])

     VALUES (57025,'Adela','Cortina','Piloto',6789032)

GO

INSERT INTO [dbo].[TClientes]([idCliente],[nombreCliente],[apellidoCliente],[ocupacionCliente],[telCliente])

     VALUES (1015276,'Emilio','Zuleta','Docente',5432145)

GO

Tabla Contratos

 

INSERT INTO [dbo].[TContrato]([idContrato],[tipoContrato],[idCliente],[idPropiedad],[certificadoLaboral],[valorContrato],[fechaInicio],[fechaTerminacion],[idFiador])

     VALUES (1,'fijo',57025,2,'si',237879,'1/1/2017','2/2/2019',5678)

GO

INSERT INTO [dbo].[TContrato]([idContrato],[tipoContrato],[idCliente],[idPropiedad],[certificadoLaboral],[valorContrato],[fechaInicio],[fechaTerminacion],[idFiador])

     VALUES (2,'indefinido',880402,3,'si',578908,'1/3/2015','2/2/2019',9876)

GO

INSERT INTO [dbo].[TContrato]([idContrato],[tipoContrato],[idCliente],[idPropiedad],[certificadoLaboral],[valorContrato],[fechaInicio],[fechaTerminacion],[idFiador])

     VALUES (3,'indefinido',1015276,1,'si',879032,'1/4/2013','2/2/2019',8765)

GO

Tabla Pagos

INSERT INTO [dbo].[TPagos]([idPago],[idContrato],[fechaPago])

     VALUES (12,1,'6/7/2018')

GO

INSERT INTO [dbo].[TPagos]([idPago],[idContrato],[fechaPago])

     VALUES (13,2,'8/7/2018')

GO

INSERT INTO [dbo].[TPagos]([idPago],[idContrato],[fechaPago])

     VALUES (14,3,'9/7/2018')

GO

 

4. Los comandos DML dar solución a las siguientes consultas

 

4.1. Mostrar los datos de las propiedades con número de habitaciones mayor que 3 y tiene un área mayor que 68 mts2 o son tipo casa.

SELECT        TOP (200) idPropiedad, nombrePropiedad, tipoPropiedad, extensPropiedad, direcProp, idPropietario, idSede, cantidadHabitaciones

FROM        TPropiedades

WHERE        (extensPropiedad > 68) AND (tipoPropiedad = 'casa') AND (cantidadHabitaciones > 3)

 

4.2. Mostrar los datos de los pagos generados por la propiedad con dirección calle 25 #12-12.

SELECT        TOP (200) TPagos.idPago, TPagos.idContrato, TPagos.fechaPago, TContrato.valorContrato, TClientes.nombreCliente, TClientes.apellidoCliente, TPropiedades.nombrePropiedad, TPropiedades.direcProp

FROM        TPagos INNER JOIN

                           TContrato ON TPagos.idContrato = TContrato.idContrato INNER JOIN

                         TClientes ON TContrato.idCliente = TClientes.idCliente INNER JOIN

                           TPropiedades ON TContrato.idPropiedad = TPropiedades.idPropiedad

WHERE        (TPropiedades.direcProp = 'calle 25 #12-12')

          

4.3. Mostrar los datos de las propiedades arrendadas en fechas menores a 01/01/2016

SELECT        TOP (200) TContrato.valorContrato, TContrato.fechaInicio, TPropiedades.nombrePropiedad, TPropiedades.tipoPropiedad, TPropiedades.cantidadHabitaciones

FROM        TContrato INNER JOIN

                           TPropiedades ON TContrato.idPropiedad = TPropiedades.idPropiedad

WHERE        (TContrato.fechaInicio < CONVERT(DATETIME, '2016-01-01 00:00:00', 102))

 

4.4. Mostrar los datos de clientes que han arrendado casas en el poblado y sus dueños son Jorge Pérez o Aníbal Ruiz

SELECT        TOP (200) TClientes.idCliente, TClientes.nombreCliente, TClientes.apellidoCliente, TClientes.ocupacionCliente, TContrato.tipoContrato, TPropiedades.direcProp, TPropietarios.nombrePropietario,

                           TPropietarios.apellidoPropietario

FROM        TClientes INNER JOIN

                         TContrato ON TClientes.idCliente = TContrato.idCliente INNER JOIN

                         TPropiedades ON TContrato.idPropiedad = TPropiedades.idPropiedad INNER JOIN

                           TPropietarios ON TPropiedades.idPropietario = TPropietarios.idPropietario

WHERE        (TPropiedades.direcProp = 'poblado') AND (TPropietarios.nombrePropietario = 'jorge') AND (TPropietarios.apellidoPropietario = 'perez') OR

                         (TPropietarios.nombrePropietario = 'anibal') AND (TPropietarios.apellidoPropietario = 'ruiz')

Espacios vectoriales

·         Qué son los espacios vectoriales?

Un espacio vectorial real V es un conjunto de objetos, denominados vectores, junto con dos operaciones binarias llamadas suma y multiplicación por un escalar y que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Notación. Si “x” y “y” están en V  y si a es un número real, entonces la suma se escribe como

 “x + y” y el producto escalar de a y x como ax.

Antes de presentar la lista de las propiedades que satisfacen los vectores en un espacio vectorial deben mencionarse dos asuntos de importancia. En primer lugar, mientras que puede ser útil pensar en R² o R³  al manejar un espacio vectorial, con frecuencia ocurre que el espacio vectorial parece ser muy diferente a estos cómodos espacios (en breve tocaremos este tema). En segunda instancia, la definición 1 ofrece una definición de un espacio vectorial real. La palabra “real” significa que los escalares que se usan son números reales. Sería igualmente sencillo definir un espacio vectorial complejo utilizando números complejos en lugar de reales. Este libro está dedicado principalmente a espacios vectoriales reales, pero las generalizaciones a otros conjuntos de escalares presentan muy poca dificultad.

·         Enumere los 8 axiomas para comprobar si un conjunto es un espacio vectorial.

1-     Si X pertenece a V y Y pertenece a V, entonces X+Y pertenece a V.

2-      Para todo X, Y y Z en V, (x+y)+z = x(y+z).

3-     Existe un vector |0 pertenece V tal que para todo X pertenece a V, X+0=0+X=X.

4-     Si x pertenece a V, existe un vector –x en V tal que x+(-x)=0.

5-     Si X y Y están en V, entonces x+y=y+x.

6-     Si x pertenece a V y a es un escalar, entonces ax pertenece a V.

7-     Si X y Y están en V y a es un ecalar, entonces a(x+y)=ax +ay

8-     Si X pertenece a V y a y b son escalares, entonces  (a+b)x = ax + by

·         Qué es un subespacio vectorial.

Sea H un subconjunto no vacío de un espacio vectorial V y suponga que H es en sí un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación por un escalar definidas en V. Entonces se dice que H es un sub espacio de V. 

·         Enumere las tres propiedades que permiten probar si un subconjunto de un espacio vectorial e u subespacio.

1). El vector cero de V está en H.2

2). H es cerrado bajo la suma de vectores. Esto es, para cada u y v en   

      H, la suma u + v  está en H.

3). H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Esto es, para cada

    u en H y  cada escalar c, el vector cu está en H. 

·         Explique cuáles son la dimensión y el rango de un subespacio y que es una base.

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares.
Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.
Sean v1,v2,…,vn vectores en un espacio vectorial V. Entonces cualquier vector de la forma:

α1v1+α2v2+…+αnvn

donde α1v1+α2v2+…+αnvn son escalares se denomina combinación lineal de v1,v2,…,vn.

Todo vector V = (a, b, c) en R3 se puede expresar como
i = (1,0,0); j = (0,1,0); k =(0,0,1)

V = (a, b, c) = a(i) + b(j) + c(k)

Entonces se dice que V es una combinación lineal de los 3 vectores i,j,k.

Los vectores son linealmente independientes si tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Un conjunto de vectores {v1,v2,…,vk} es un espacio vectorial V es linealmente dependiente si existen escalares c1,c2,…,ck, al menos uno de los cuales no es cero, tales que:

c1v1+c2v2+…+ckvk=0

Si los vectores no son linealmente dependientes, se dice que son linealmente independientes.

Criterios de Independencia Lineal

Sean u1, u2, …,uk k vectores en Rn y A la matriz que tiene como columnas a estos vectores, los vectores son linealmente independientes si el sistema Ax = 0 tiene únicamente solución trivial.
Los vectores son linealmente dependientes si el sistema Ax=0 tiene soluciones no triviales (solución múltiple).

Si k=n
Los vectores son linealmente independientes si A es invertible

Si k>nLos vectores son linealmente dependientes.

Dos vectores en un espacio vectorial son linealmente dependientes si uno de ellos esmúltiplo escalar del otro.

Un conjunto de vectores linealmente independientes en n contiene a lo más n vectores.

Tres vectores en 3 son linealmente dependientes si y sólo si son coplanares, esto es, que están en un mismo plano.

Derivadas

¿Cuáles son los aportes que las derivadas le brindan como persona y como futuro profesional?

Con esto nos ayuda a resolver problemas donde se deben conseguir el valor óptimo de una función que no tiene ciertas condiciones.

A diario usamos derivadas en el estudio del comportamiento de las funciones, hallando los intervalos de crecimiento, los de decrecimiento, los máximos y mínimos relativos absolutos, intervalos de convexidad y concavidad. 

Es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente o, dicho de otro modo, la derivada de una función nos indica el ritmo con el que dicha función varía (crece, decrece o permanece constante) cuando se producen pequeños cambios en la variable independiente.

link

https://classroom.google.com/u/2/c/MTM4MTU0NjUzNTc3/a/MTM4MTU0NjUzNTgy/details

https://docs.google.com/document/u/2/d/18OZ7Nc_KqilDxYS6N42-FmbR5Xb2zQzV/edit?usp=drive_web&ouid=105345806180881158740&rtpof=true

Transformaciones lineales

 ¿Qué es una transformación lineal?

Enprimer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función tiene su dominio y su condominio, con lapparticularidad de que estos soneespacio a vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. Osea una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W.

Una transformación Lineal, es una función de la forma
T : R que satisface n → R ^m

las siguientes propiedades
 1. T(u + v) = Tu + Tv, para todo u, v.
2. T(cu) = cT(u) para todo vector u y todo escalar c

La transformación T manda combinaciones lineales en combinaciones lineales, es decir

T(c1v1 + c2v2 + ....... + ckvk) = c1T(v1) + c2T(v2) + .... + ckT(vk). 

- Se escribe T: V →W para indicar que T toma el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen
- Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcional f (x), que se lee “f de x

¿Cuáles son las condiciones para que exista una transformación lineal? 
Para que exista una transformación Lineal, la función debe cumplir 2 propiedades, tal como se expresó en su definición

1. T(u + v) = Tu + Tv, para todo u, v.
2. T(cu) = cT(u) para todo vector u y todo escalar c

¿Al menos cinco propiedades o teoremas de las transformaciones lineales?

Teoremas o propiedades de las transformaciones lineales

Teorema 1

Sea T : V → W una transformación lineal, entonces para todos los vectores u, v, v1.v2...vn en V y todos los escalares α1, α2, ... αn :

- T(0) = 0 ( el 0 de la izquierda es el vector cero en V, mientras que el 0 de la derecha es el vector cero en W)

- T(u − v) = Tu − Tv

- T(α1v1 + α2v2 + ..... + αnvn) = α1Tv1 + α2Tv2 + ... + αnTvn

Demostración

- T(0) = T(0 + 0) = T(0) + T(0). Así 0 = T(0) − T(0) = T(0) + T(0)
 − T(0) = T(0) - T(u − v) = T[u + (− 1)v] = Tu + T[(− 1)v] = Tu + (− 1)Tv = Tu − Tv
 - Para n = 2 se tiene T(a1v1 + a2v2) = T(a1v1) + T(a2v2) = a1Tv1 + a2Tv2

Teorema 2

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, .......vn} sean w1,w2, ...wn vectores en W. Suponga que T1 y T2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T1vi = T2vi = wi para i = 1, 2, ......n. Entonces para cualquier vector v ∈ V , T1v = T2v; es decir, T1 = T2

Demostración

Como B es una base para V , existe un conjunto único de escalares a1, a2, . . . , an tales que v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn
T1v = T1(a1v1 + a2v2 + . . . + anvn) = a1T1v1 + a2T1v2 + . . . + anTnv = a1w1 + a2w2 + . . . + anwn
T2v = T2(a1v1 + a2v2 + . . . + anvn) = a1T2v1 + a2T2v2 + . . . + anTnvn = a1w1 + a2w2 + . . . + anwn
Por lo tanto, T1v = T2v

Teorema 3

Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {v1, v2, . . . , vn}. Sea W un espacio vectorial que contiene los vectores w1, w2, . . . , wn.
Entonces existe una transformación lineal única T : V → W tal que Tvi = wi para i = 1, 2, . . . , n.

Demostración

- Tvi = wi
 - Si v = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn, entonces
- Tv = a1w1 + a2w2 + . . . + anwn
Si u = a1v1 + a2v2 + . . . + anvn, y q = b1v1 + b2v2 + . . . + bnvn, entonces :
T( u + q) = T[ ( a1 + b1) v1 + ( a2 + b2) v2 + . . . + ( an + bn) vn]
= ( a1 + b1)w1 + ( a2 + b2)w2 + . . . + ( an + bn)wn
= ( a1w1 + a2w2 + . . . + anwn) + ( b1w1 + b2w2 + . . . + bnwn)
= Tu + Tq

Teorema 4 

Si T : V → W es una transformación lineal, entonces
- nu T es un subespacio de V
- im T es un subespacio de W

Demostración

 - Sean u y v en nu T; entonces T(u + v) = Tu + Tv = 0 + 0 = 0 y T(au) = aTx = a0 = 0 de forma que u + v y au están en nu T.
- Sean w y x en im T. Entonces w = Tu y x = Tv para dos vectores u y v en V Esto significa que T(u + v) = Tu + Tv = w + x y T(au) = aTu = aw Por lo tanto, w + x y aw están en im T.

Teorema 5 

Sea T : R R una transformación lineal. Existe entonces una matriz única de m x n, AT tal que n → m Tx = ATx para toda x ∈ R n

Ejemplo de una transformación lineal.

¿Cómo probar esa transformación lineal?

Un fabricante elabora cuatro tipos de productos distintos, de los cuales cada uno requiere tres tipos de materiales. Se identifican los cuatro productos como P_1, P_2, P₃ P₄ y a los materiales como R₁, R₂, R₃. La tabla muestra el número de unidades de cada materia prima que se requieren para fabricar una unidad de cada producto:

 

MATERIALES	PRODUCTOS
	P1	P2	P3	P4
R1	2	1	3	4
R2	4	2	2	1
R3	3	3	1	2

 

Surge una pregunta natural: si se produce cierto número de los cuatro productos, ¿cuántas unidades de cada material se necesitan? Sean P₁, P₂, P₃, P₄ el número de artículos fabricados de los cuatro productos y sean R₁, R₂, R₃ el número de unidades necesario de los tres materiales, entonces se define así:

                                   

 

Por ejemplo, supongamos que  . ¿Cuántas unidades de R₁ se necesitan para producir estos números de unidades de los cuatro productos? De la tabla se tiene que:

R = P₁ • 2 + P₂ • 2 + P₃ • 3 + P₄ • 4, o sea

 

R₁ = 10 • 2 + 30 • 2 + 20 • 3 + 50 • 4 = 310 unidades.

 

R₂ = 10 • 4 + 30 • 2 + 20 • 2 + 50 • 1 = 190 unidades.

 

R₃ = 10 • 3 + 30 • 3 + 20 • 1 + 50 • 2 = 240 unidades.