TIA:
Límites
NOMBRES
Y APELLIDOS COMPLETOS:
Andrés Felipe rivera
Luisa Fernanda Villarreal Betanco
Cristian David Palacio Palacio
En esta TIA usted deberá
dar cuenta del estudio y comprensión de lo estudiado en los Recursos de la
“Actividad de EAE 2: Estableciendo la continuidad de una función”, así:
1. Luego de haber leído detenidamente, analizado y realizado las
actividades interactivas del libro digital interactivo denominado Cálculo Diferencial
Interactivo desde la página 48 hasta la 71 construya un documento en que de
cuenta de la definición y ejemplos de límite de una función, sucesiones, límite
de una sucesión, límites unilaterales, cálculo de límites no indeterminados y
límites de funciones trigonométricas.
LIMITE DE UNA FUNCIÓN:
Es un
concepto fundamental del análisis matemático aplicado a las funciones. En
particular, el concepto aplica en análisis real al estudio de límites,
continuidad y derivabilidad de las funciones reales. Intuitivamente, el hecho
que una función f alcance un límite L en un punto c significa que, tomando
puntos suficientemente próximos a c, el valor de f puede ser tan cercano a L
como se desee. La cercanía de los valores de f y L no depende del valor que
adquiere f en dicho punto c.
SUCESIONES:
Una
sucesión es una función que asocia a cada entero positivo un número real. Una
sucesión se puede expresar de varias maneras
a)
Describiendo en palabras cómo obtener cada uno de sus términos.
b) {an
}, es decir, escribiendo entre llaves la expresión de su término general.
c) a1,
a2, a3,... , es decir, escribiendo los primeros términos
hasta que sea evidente para el lector cuál es la regla para obtener los
siguientes.
Límite
De Una Sucesión:
Se
dice que una sucesión de números reales { an } converge a L si para
cualquier número positivo ε, los términos an de la sucesión distan de L menos
que ε, para n suficientemente grande. La sucesión: 2.1, 2.01, 2.001, 2.0001,
... converge a 2 y la sucesión {1/n} converge a cero. Éstos son dos ejemplos de
sucesiones que convergen.
La
sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... no converge. Tampoco converge la sucesión {3n}.
Éstos últimos son dos ejemplos de sucesiones que no convergen. Cuando una
sucesión {an} converge a un número L, se dice que L es el límite de {an} y se
escribe:
Límites
Unilaterales:
Identificar
el valor de límites unilaterales a partir de la observación de la gráfica de
una función y, obtener el valor del límite a partir de la observación de la
gráfica.
El
límite de una función f(x) en un punto x0 es el valor al que se
acercan los valores de la función cuando la variable x se acerca a x0. Las
funciones no siempre tienen límite en cualquier punto
Calculo
De Límites No Indeterminados:
Vamos
a obtener el valor del límite de una función f(x) cuando x tiende a un número a
y no presenta indeterminación.
Nota:
Debido a que es más natural el concepto de continuidad que el concepto de
límite, es conveniente estudiar primero las lecciones de continuidad y después
las de límite. Si una función es continua en un número a, entonces el valor del
límite de ella, cuando x tiende a a, es f(a); es decir.
La
gran mayoría de las funciones que utilizamos cotidianamente son continuas en
todos los números donde están definidas.
● Las
funciones polinomiales, f(x)=cnxn + cn-1xn-1 + ... + c1x + c0, son continuas en
todos los reales.
● Las
funciones racionales, es decir, los cocientes de funciones polinomiales
son
continuas en todos los números a para los cuales g(a)≠0.
● Las
funciones trigonométricas, seno, coseno, tangente, cotangente, secante y
cosecante, son continuas en todos los números donde están definidas.
2. Luego de haber leído,
analizado y realizado las actividades interactivas del OIA denominado Continuidad de una función
en un punto, Defina las condiciones necesarias para que una
función sea contínua en un punto establecido y transcriba 2 de los ejemplos que
allí se presentan.
Una
función f es continua en un punto a, si para valores x muy cercanos a (a), se
tiene que f(x) es casi igual a f(a). Además, una función f es continua en un
intervalo si f es continua en cada punto del intervalo.
3. Luego de haber leído detenidamente, analizado y realizado las
actividades interactivas del libro digital interactivo denominado Cálculo Diferencial
Interactivo desde la página 72 hasta la 81 construya un documento en que de
cuenta de la definición y ejemplos de límites al infinito, límites al infinito
con indeterminación, discontinuidad removible y asíntotas.
Límites al infinito:
El límite de una función f(x) al infinito es el número
al que se acercan los valores de la función cuando la variable x tiende a +∞ o
a -∞. Las funciones no siempre tienen límite al infinito.
Límites al infinito con indeterminación:
En el ámbito de las Ciencias Sociales, es muy habitual que
haya que calcular el límite de una función racional cuando x tiende a infinito.
Basta que queramos saber el comportamiento de una población, del dinero
invertido en un banco, de la evolución de un negocio, de la evolución de un
mercado de valores, ...., a largo plazo. Muchas de estas funciones responden a
funciones racionales, o sea, a dividir dos polinomios, y como ya sabes del
punto 2, el resultado del límite cuando x tiende a infinito de un polinomio es
infinito. Luego en este caso tendríamos que dividir infinito entre infinito.
Tenemos ahora entonces la indeterminación ∞/∞
TIA.
Taller: Límites indeterminados y al infinito
Escriba
en su cuaderno de apuntes o en hojas sueltas, los procedimientos solicitados y
escanéelos o tómales fotos para que pueda adjuntarlos como evidencia de su
trabajo.
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¿cuáles son los aportes que
los límites le brinda como persona y como futuro profesional?
límite es un concepto que describe la
tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa
sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo
(especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir
los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación,
integración, entre otros.
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